Ejercicios resueltos de ecuación general de circunferencia paso a paso
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Expresión estándar de la circunferencia
Una circunferencia particular tiene su centro en el origen y su ecuación se conoce como ecuación canónica de la circunferencia.En caso de que la circunferencia no esté situada en el (left( {0,0} right)), es posible crear un nuevo sistema de coordenadas donde el centro de la circunferencia sea el nuevo origen. Por ejemplo:
Para obtener la ecuación canónica, se realiza una traslación de ejes para que el centro de la circunferencia coincida con el centro del nuevo sistema de coordenadas.De la forma general a la forma estándar de una ecuación
¿Qué figura geometríca describe la siguiente ecuación? ¿Podemos afirmar que es una circunferencia? Para asegurarnos, es necesario convertirla a su fórmula estándar.
¿Qué elemento tendremos que añadir a esta expresión para que sea un trinomio cuadrado perfecto? Es necesario incluir el término independiente. Siguiendo el sencillo criterio de que el término independiente debe ser la mitad del coeficiente de segundo grado elevado al cuadrado.
Solución de problemas de la fórmula de la circunferencia
Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto C(-2,3) y radio r=4. ¿Los puntos A(2,3), B(-4,3) y D(1,5) se encuentran dentro de esta circunferencia?
Para comprobar si los puntos pertenecen a la circunferencia, debemos sustituir las coordenadas de cada punto por x y y y verificar si se cumple la igualdad. Si se cumple, entonces el punto pertenece a la circunferencia, de lo contrario, no pertenece.
Realizamos la operación en el primer término y vemos que el resultado es igual a 0, al igual que en el segundo término. Por lo tanto, el punto A sí pertenece a la circunferencia:
Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto C (-2,3) y radio de r=4. ¿Los puntos A (2,3), B(-4,3) y D(1,5) están contenidos dentro de esta circunferencia?
Para verificar si cada uno de los puntos pertenece a la circunferencia, debemos sustituir sus coordenadas por x y y y comprobar si se cumple la igualdad. Si se cumple, entonces el punto pertenece a la circunferencia, en caso contrario, no pertenece.
Realizamos la operación en el primer miembro y observamos que el resultado es igual a 0, igual que en el segundo miembro. Por lo tanto, el punto A sí pertenece a la circunferencia.
Fórmula para hallar la circunferencia que atraviesa por tres puntos
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¿Te preguntas cómo encontrar los valores de m, n y p para obtener el centro y el radio de una circunferencia? ¡Es más fácil de lo que parece!
Utilizaremos tres ecuaciones y sustituiremos las coordenadas de cada punto en ellas para obtener los valores deseados.
Una vez conocidos m, n y p, los insertamos en la fórmula general de la ecuación de una circunferencia. ¡Así de sencillo!
Variantes de las ecuaciones de la circunferencia Explorando distintos enfoques
Tipos de ecuaciones para describir una circunferencia en el planoLas ecuaciones son una herramienta fundamental para expresar matemáticamente la forma de una circunferencia en el plano. Entre las diversas ecuaciones que existen para ello, destacan la ecuación ordinaria y la ecuación general, que son las más utilizadas.
Sin embargo, existen otros tipos de ecuaciones para describir este objeto geométrico que también son importantes conocer, a continuación se explicarán cada una de ellas.
Ecuación Canónica de una CircunferenciaLa ecuación canónica, también conocida como ecuación reducida, es una forma de expresar una circunferencia cuyo centro se encuentra en el origen de coordenadas (punto (0,0)). Su forma es la siguiente:
donde r es el radio de la circunferencia.
Ecuación Goniométrica de una CircunferenciaPor último, está la ecuación goniométrica, también llamada circunferencia unitaria o circunferencia unidad. Se trata de una circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenadas, y su forma es la siguiente:
Solución de problemas de la fórmula de una circunferencia
Para encontrar la fomula general de una circunferencia, es necesario primero calcular su fórmula ordinaria. Para ello, se utiliza la siguiente fórmula:
Esta fórmula permite obtener la ecuación general de la circunferencia, lo que nos permitirá calcular las coordenadas de su centro.Al utilizar esta fórmula, los coeficientes de $x^2$ y $y^2$ serán 1, y además, no habrá términos en $x$ ni en $y$. Así, solo será necesario comprobar la tercera condición:La fórmula integral de la circunferencia
Una ecuación de dos variables x e y, con coeficientes iguales en x2 y y2, sin término en xy, es una ecuación en dos dimensiones.
Para calcular el centro y el radio de una circunferencia de ecuación x2 + y2 - 10x + 8y + 25 = 0, se debe analizar x2 y y2 con coeficientes iguales, lo que indica que el centro se encuentra en el origen del sistema de coordenadas.
Además, para determinar el radio de la circunferencia, se debe calcular la distancia desde el centro hasta cualquier punto de la circunferencia, que corresponde a la raíz cuadrada del término independiente (25 en este caso).
Por lo tanto, el centro de la circunferencia está en el origen del sistema de coordenadas y su radio es de 5 unidades.
Fórmula común de la circunferencia
La circunferencia es una figura geométrica que forma parte de las secciones cónicas, junto con la elipse, la parábola y la hipérbola. ,
Una forma de obtener una circunferencia es cortando un cono con un plano paralelo a su base.
En el plano cartesiano, para describir una circunferencia se utiliza su ecuación ordinaria, que es la siguiente:
De esta forma, basta con sustituir el valor del radio (r) para encontrar la ecuación de la circunferencia, y las coordenadas X e Y del centro para determinar su posición en el plano.
Existencia de una circunferencia
Existen ecuaciones en forma de x² + y² = r², que no se corresponden con una circunferencia. Por lo tanto, no todas las ecuaciones de este tipo son verdaderamente circunferencias, sino que deben cumplir con 3 condiciones para ser consideradas como tal.
En primer lugar, es necesario que x² y y² estén elevados al cuadrado, ya que de lo contrario, no se estaría representando realmente una circunferencia.
Además, el término r² debe estar presente en la ecuación, ya que es el radio de la circunferencia y es esencial para su representación.
Por último, estas 3 condiciones deben cumplirse simultáneamente, es decir, todos los términos deben estar presentes y elevados al cuadrado para que la ecuación sea realmente la de una circunferencia y no otro tipo de forma geométrica.
